Mặt cầu – Môn Toán – Lớp 12

0
31

I. Mặt cầu và các khái niệm có liên quan đến mặt cầu

1. Tập hợp tất cả các điểm M trong không gian cách một điểm O cố định một khoảng không đổi bằng r (r>0) được gọi là mặt cầu tâm O bán kính r và thường được kí hiệu là S(O;r).

Cho mặt cầu tâm O bán kính r và M là một điểm bất kì trong không gian.

– Nếu OM = r thì ta nói điểm M nằm trên mặt cầu S(O;r).

– Nếu OM < r thì ta nói điểm M nằm trong mặt cầu S(O;r).

– Nếu OM > r thì ta nói điểm M nằm ngoài mặt cầu S(O;r).

2. Mặt cầu là một mặt tròn xoay được tạo nên bởi một nửa đường tròn quay quanh trục là đường kính AB của nửa đường tròn đó. Giao tuyến của mặt cầu với các nửa mặt phẳng có bờ là trục của mặt cầu được gọi là đường kinh tuyến của mặt cầu. Giao tuyến (nếu có) của mặt cầu với các mặt phẳng vuông góc với trục gọi là vĩ tuyến của mặt cầu.

II. Giao tuyến của mặt cầu và mặt phẳng

Cho mặt cầu S(O;r) và mặt phẳng (P). H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng (P). Khi đó OH=h là khoảng cách từ tâm O của mặt cầu tới mặt phẳng (P). Ta có các trường hợp:

  1. Nếu h>r, mặt phẳng (P) không cắt mặt cầu;
  2. Nếu h=r, mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu tại điểm H. Ta có OH ⊥ (P);
  3. Nếu h<r: mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo đường tròn có bán kính:

Đặc biệt khi h=0, mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo một đường tròn lớn có bán kính r’=r.

III. Giao của mặt cầu với đường thẳng, tiếp tuyến của mặt cầu

Cho mặt cầu S(O;r) và đường thẳng Δ.

1. Trong trường hợp Δ đi qua tâm O của mặt cầu thì Δ cắt mặt cầu tại hai điểm A,B với AB=2r.

2. Trường hợp Δ không đi qua tâm O của mặt cầu, ta gọi d là khoảng cách từ tâm O tới đường thẳng Δ, khi đó:

a) Nếu d<r, đường thẳng Δ tiếp xúc với mặt cầu tại hai điểm M,N

b) Nếu d=r, đường thẳng Δ tiếp xúc với mặt cầu tại một điểm H (H gọi là tiếp điểm và đường thẳng Δ được gọi là tiếp tuyến của mặt cầu);

c) Nếu d>r, đường thẳng Δ không cắt mặt cầu.

Chú ý

– Qua một điểm A bất kì trên mặt cầu S(O;r) có vô số tiếp tuyến của mặt cầu đó. Tất cả các tiếp tuyến này đều vuông góc với bán kính OA của mặt cầu và đều nằm trong mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu S(O;r) tại A. Mặt phẳng tiếp xúc này vuông góc với đường thẳng OA tại A.

– Qua một điểm M nằm ngoài mặt cầu S(O;r) có vô số tiếp tuyến với mặt cầu đó. Khi đó độ dài các đoạn thẳng kẻ từ M đến các tiếp điểm đều bằng nhau. Tất cả các tiếp tuyến này tạo nên một mặt nón tròn xoay có đỉnh là M và có đường tròn đáy nằm trên mặt cầu.

IV. Công thức tính thể tích mặt cầu và thể tích khối cầu 

Gọi S là diện tích mặt cầu bán kính r, ta có công thức S=4πr²

Chú ý:

– Ta có diện tích đường tròn lớn của mặt cầu bán kính r là s=πr². Do đó ta cần lưu ý rằng S=4s=4πr²

– Người ta chứng minh được công thức tính thể tích V của khối cầu bán kính r là: V=4/3πr³

Bình luận Facebook
Mặt cầu – Môn Toán – Lớp 12
Đánh giá bài viết

LEAVE A REPLY

Please enter your comment!
Please enter your name here