1. Nguyên hàm và tính chất
1.1.Định nghĩa
Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K, nếu:
F'(x) = f(x) với mọi x ∈ K
1.2.Định lí
1) Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.
2) Ngược lại, nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x)+C với C là một hằng số.
Kí hiệu họ nguyên hàm của f(x) là ∫f(x)dx
Khi đó: ∫f(x)dx = f(x) + C, C ∈ R
Tính chất của nguyên hàm
Tính chất 1: ∫f(x)dx = f(x) + C
Tính chất 2: ∫kf(x)dx = k∫f(x) + C (k là hằng số khác 0)
Tính chất 3: ∫(f(x) ± g(x)) dx = f(x)dx ± g(x)dx
1.3. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
2. Phương pháp tính nguyên hàm
2.1. Đổi biến số
Định lý: Nếu f(u)du = F(u) + C và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì
∫f(u(x))u'(x)dx = F(u(x)+C
Hệ quả: Nếu u=ax+b (a≠0) thì ta có
∫f(ax+b)dx = 1/a.F(ax+b) + C
2.2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Định lý 2: Nếu hai hàm số u=u(x) và v=v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì
∫u(x).v'(x)dx= u(x)v(x) – ∫u'(x)v(x)dx
hay ∫udv = uv – ∫vdu
