Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số là một trong những kiến thức quan trọng nhất của Toán 12.

I. Sơ đồ khảo sát hàm số

1. Tập xác định

Tìm tập xác định của hàm số

2. Sự biến thiên

• Xét chiều biến thiên của hàm số:

+ Tính đạo hàm y’

+ Tìm các điểm tại đó đạo hàm y’ bằng 0 hoặc không xác định

+ Xét dùng đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.

• Tìm cực trị
• Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có)
• Lập bảng biến thiên. (Ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên).

3. Đồ thị

Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị.

Chú ý

1) Nếu hàm số tuần hoàn với chu kì T thì chỉ cần khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị trên một chu kì, sau đó tịnh tiến đồ thị song song với trục Ox.

2) Nên tính thêm tọa độ một số điểm, đặc biệt là tọa độ các giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ.

3) Nên lưu ý đến tính đối xứng của đồ thị để vẽ cho chính xác.

II. Khảo sát hàm đa thức và hàm phân thức

1. Hàm số ax³ + bx² + cx + d (a≠0)

Ví dụ 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = ax³ + bx² + cx + d

Giải

1) Tập xác định:  ℝ

2) Sự biến thiên

• Chiều biến thiên

y’= 3x² + 6x = 3x(x+2);

Trên các khoảng (-∞;-2)và (0;+∞), y’>0 nên hàm số đồng biến.

Trên các khoảng (-2;0), y'<0 nên hàm số nghịch biến.

• Cực trị

Hàm số đạt cực đại tại x = -2; y_CĐ = y(-2) = 0

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; y_CT = y(0) = -4

• Các giới hạn tại vô cực

• Bảng biến thiên

3) Đồ thị

Vì x³ + 3x² – 4 = (x-1)(x+2)²=0

nên (-2;0)  và (1;0) là giao điểm của đồ thị với Ox.

Vì y(0) = -4 nên  (0;-4) là giao điểm của đồ thị với Oy. Điểm đó cũng là điểm cực tiểu của đồ thị.

Lưu ý: Đồ thị của hàm số bậc 3 đã cho có tâm đối xứng là điểm I. Hoành độ của điểm I là nghiệm của phương trình y”=0.

Dạng của đồ thị hàm số bậc ba ax³ + bx² + cx + d (a≠0)

2. Hàm số y = ax⁴ + bx² + c (a ≠ 0)

Dạng của đồ thị hàm số y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0)

3. Hàm phân thức

Dạng của đồ thị hàm số:

III. Sự tương giao của các đồ thị

Giả sử hàm số y = f(x) có đồ thị là (C₁) và hàm số y = g(x) có đồ thị là (C2). Để tìm hoành độ giao điểm của (C₁) và (C₂), ta phải giải phương trình f(x) = g(x). Giả sử phương trình trên có các nghiệm là x0, x1,…Khi đó, các giao điểm của (C1) và (C2) là M0(x₀;f(x₀)), M1(x₁;f(x₁)).