Tìm m để hàm số đồng biến trên R hoặc hàm số nghịch biến trên R là một trong các dạng toán phổ biến về sự đơn điệu của hàm số. Bởi R cũng là một khoảng từ -∞ (âm vô cực) tới +∞(dương vô cực) nên đây chính là 1 trường hợp riêng của dạng toán tìm hàm số đơn điệu trên 1 khoảng. Đối với dạng toán này các bạn cần nắm được các điều kiện để hàm số đơn điệu trên khoảng R. Đồng thời cần phải nhớ được một số trường hợp đặc biệt để vận dụng giải nhanh các dạng toán này. Cùng butbi theo dõi nhé!

Tham khảo thêm:

• Toán 12: Sự đồng biến nghịch biến của hàm số
• Toán 10: Hàm số là gì

1. Điều kiện để hàm số đồng biến trên R hoặc nghịch biến trên R

Trước tiên các bạn cần biết rằng điều kiện để hàm số y = f(x) đồng biến trên R thì điều kiện đầu tiên đó là hàm số phải xác định trên R đã.

Giả sử ta có hàm số y=f(x) xác định và liên tục, có đạo hàm trên R. Khi đó để hàm số y = f(x) đơn điệu trên R khi và chỉ khi thỏa mãn được 2 điều kiện sau:

– Hàm số y = f(x) xác định trên R

– Hàm số y = f(x) có đạo hàm không đổi dấu trên R

Ở trong điều kiện thứ hai các bạn cần chú ý đó là ( y’) có thể bằng 0 nhưng nó chỉ được bằng 0 tại hữu hạn điểm (hoặc là số điểm mà đạo hàm bằng 0 là tập có thể đếm được)

Một số trường hợp cụ thể mà chúng ta bắt buộc cần phải nhớ về điều kiện để đơn điệu trên R đó là:

a. Trường hợp đối với hàm số đa thức bậc 1:

• Hàm số y = ax + b (a ≠ 0) đồng biến trên R khi và chỉ khi đáp ứng điều kiện a> 0
• Hàm số y = ax + b (a ≠ 0) nghịch biến trên R khi và chỉ khi đáp ứng điều kiện a< 0

b. Trường hợp đối với hàm số đa thức bậc 3:

c. Trường hợp đối với hàm số đa thức bậc chẵn

Hàm số đa thức bậc chẵn thì không thể đồng điệu trên R được nhé các bạn.

2. Tìm m để hàm số đồng biến trên R – Ví dụ minh họa

Cho hàm số y = x³ +2(m-1)x² + 3x – 2. Các bạn hãy tìm m để hàm số đồng biến trên R

Trả lời:

Để hàm số y = x³ +2(m-1)x² + 3x – 2 đồng biến trên R thì cần thỏa mã điều kiện như sau: (m – 1)² – 3.3 <= 0 ⇔ -3 <= m – 1 <= 3 ⇔ -2 <=m <= 4

Các bạn cần phải lưu ý: Đối với hàm số đa thức bậc 3 có chứa tham số ở hệ số bậc cao nhất thì chúng ta cần phải xét trường hợp hàm số suy biến nhé!

3. Tìm m để hàm số nghịch biến trên R – Ví dụ minh họa

Cho hàm số y = mx³ – mx² – (m + 4)x + 2. Các bạn hãy tìm m để hàm số nghịch biến trên R

*Trả lời

Vì có tham số ở hệ số bậc cao nhất chúng ta cần phải xét trường hợp hàm số suy biến như sau: Khi m = 0, hàm số sẽ trở thành y = -x + 2. Đây chính là hàm bậc nhất nghịch biến trên R. Vây m = 0 thỏa mã được yêu cầu bài toán

Với m khác 0, hàm số chính là hàm đa thức bậc 3. Do đó hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi m<0 đồng thời m² + 3m(m+4)≤0.

Giải các điều kiện ra ta được kết quả -3≤ m<0. Kết hợp 2 trường hợp ta được -3≤m≤0