Giải toán 12 hình học (Bài 1) Khái niệm về khối đa diện: Hình học không gian trong chương trình lớp 12 chính là sự kế thừa và mở rộng của chương trình lớp 11 ,vì vậy để có thể học tốt chương trình này đòi hỏi các bạn phải ôn tập lại kiến thức lớp 11. Để mở đầu cho chương khối đa diện, xin mời các bạn cùng tìm hiểu bài khái niệm khối đa diện để tìm hiểu những vấn đề lý thuyết cần nắm để chuẩn bị tốt cho các bài tiếp theo.

Tham khảo thêm:

• Sự đồng biến nghịch biến của hàm số

Lý thuyết khái niệm về khối đa diện

Hình đa diện (được gọi tắt là đa diện)(H) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai điều kiện:

1. Khái niệm về hình đa diện

Hình đa diện (được gọi tắt là đa diện) (H) là hình được tạo bởi một số những hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai điều kiện đó là:

a) Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm nào chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có thể có một cạnh chung.

b) Mỗi cạnh của bất cứ một đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.
Mỗi đa giác như thế được gọi là một mặt của hình đa diện (H). Các đỉnh và các cạnh của các đa giác ấy theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện (H).

2. Khái niệm về khối đa diện

Phần không gian mà được giới hạn bởi một hình đa diện (H) được gọi là khối đa diện (H).

Mỗi đa diện (H) chia các điểm còn lại của không gian thành hai miền không giao nhau đó là miền trong và miền ngoài của (H). Trong đó chỉ có duy nhất miền ngoài là chứa hoàn toàn một đường thẳng nào đó.
Các điểm thuộc miền trong là các điểm trong còn các điểm thuộc miền ngoài là các điểm ngoài của (H).
Khối đa diện (H) là việc hợp của hình đa diện (H) và miền trong của nó.

3. Phép dời hình và sự bằng nhau giữa các khối đa diện

a) Trong không gian có quy tắc đặt tương ứng của mỗi điểm M với điểm M′ xác định duy nhất được gọi là một phép biến hình trong không gian.

b) Phép biến hình trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn được khoảng cách giữa hai điểm tùy ý.

c) Nếu thực hiện liên tiếp các phép dời hình sẽ được một phép dời hình.

d) Phép dời hình biến một đa diện thành một đa diện, biến các đỉnh các cạnh các mặt của đa diện này thành các đỉnh, cạnh, mặt tương ứng của đa diện kia.

e) Một số những ví dụ về phép dời hình trong không gian:

– Phép đối xứng qua mặt phẳng (P), là phép biến hình biến mọi điểm thuộc (P) thành chính nó, biến điểm M không thuộc (P)thành điểm M′ sao cho (P) là mặt phẳng trung trực của MM′
Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến hình (H) thành chính nó thì (P) sẽ được gọi là mặt phẳng đối xứng của (H).

– Phép đối xứng tâm O chính là phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến điểm M khác điểm O thành điểm M′ sao cho O là trung điểm của MM′.

Nếu phép đối xứng tâm O biến hình (H) thành chính nó thì O sẽ được gọi là tâm đối xứng của (H).

– Phép đối xứng qua đường thẳng d chính là phép biến hình mọi điểm thuộc d  thành chính nó, biến điểm M không thuộc d thành điểm M′ sao cho d chính là trung trực của MM′. Phép đối xứng qua đường thẳng d còn có thể gọi là phép đối xứng qua trục d.
Nếu phép đối xứng qua đường thẳng d biến hình (H)thành chính nó thì d sẽ được gọi là trục đối xứng của (H).

g) Hai hình có thể gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.

h) Hai tứ diện khi có các cạnh tương ứng bằng nhau thì bằng nhau.

Ví dụ: Cho một hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Khi đó ta có:

– Có các hình chóp A.A’B’C’D’ và C’.ABCD bằng nhau (vì qua phép đối xứng tâm O hình chóp A.A’B’C’D’ biến thành hình chóp C’.ABCD).

– Có các hình lăng trụ ABC.A’B’C’ và AA’D’.BB’C’ bằng nhau (vì qua phép đối xứng qua mặt phẳng (AB’C’D) thì hình lăng trụ ABC.A’B’C’ biến thành hình lăng trụ AA’D’.BB’C’).

4. Lắp ghép khối đa diện

Nếu khối đa diện (H) là hợp của hai khối đa diện (H1) và (H2) sao cho (H1) và (H2) không có điểm trong chung thì ta nói có thể chia được khối đa diện (H) thành hai khối đa diện (H1) và (H2), hay có thể lắp ghép được hai khối đa diện (H1) và (H2) với nhau để được một khối đa diện (H).

Một khối đa diện bất kì luôn luôn có thể phân chia được thành các khối tứ diện.

Ví dụ: Với một khối chóp tứ giác S.ABCD, ta  xét hai khối chóp tam giác S.ABC và S.ACD.

Ta thấy rằng:

+ Hai khối chóp S.ABC và S.ACD không có điểm trong chung.

+ Hợp của hai khối chóp S.ABC và S.ACD chính là khối chóp S.ABCD.

Vậy khối chóp S.ABCD được phân chia thành hai khối chóp tam giác là S.ABC và  S.ACD .

– Nhận xét. Một khối đa diện bất kì luôn luôn có thể phân chia thành những khối tứ diện.

5. Kiến thức bổ sung

Phép vị tự trong không gian và sự đồng dạng giữa tất cả các khối đa diện.

b) Hình (H) được gọi là đồng dạng với hình (H′)nếu như có một phép vị tự biến (H)thành (H1) và (H1) bằng (H′).

Trả lời các câu hỏi và làm bài tập SGK:

Trả lời câu hỏi 1 trang 4 SGK Hình học 12 – tập 1:

Đề bài

Nhắc lại định nghĩa về hình lăng trụ và hình chóp:

Lời giải chi tiết

– Hình lăng trụ là hình gồm có hai đáy là hai đa giác bằng nhau và nằm trên hai mặt phẳng song song, các mặt bên là hình bình hành và các cạnh bên song song hoặc bằng nhau

– Hình chóp là một hình không gian bao gồm một đa giác gọi là mặt đáy, các tam giác chung đỉnh gọi là mặt bên và đỉnh chung của các mặt bên đó gọi là đỉnh của hình chóp.

Trả lời câu hỏi 2 trang 6 SGK Hình học 12-tập 1:

Đề bài

Kể tên tất cả mặt của hình lăng trụ ABCDE.A′B′C′D′E′ và hình chóp S.ABCDE (h.1.4 ).

Lời giải chi tiết

– Tất cả các mặt của hình lăng trụ  ABCDE.A′B′C′D′E′ là: ABB′A′,BCC′B′,CDD′C′,DEE′D′,EAA′E′,ABCDE,A′B′C′D′

– Các mặt của hình chóp S.ABCDE là: SAB,SBC,SCD,SDE,SAE,ABCDE.

Trả lời câu hỏi 3 trang 8 SGK Hình học 12 – tập 1:

Đề bài

Giải thích tại sao hình 1.8c  lại không phải là một khối đa diện?

Lời giải chi tiết

Hình đa diện có tính chất: Mỗi cạnh của đa giác nào thì cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác

Nhưng hình 1.8c có cạnh AB là cạnh chung của 4 đa giác ( do đó không thỏa mãn tính chất trên).

Trả lời câu hỏi 4 trang 10 SGK Hình học 12 – tập 1:

Đề bài

Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Hãy chứng minh rằng hai lăng trụ ABD.A′B′D′ và BCD.B′C′D′  bằng nhau.

Lời giải chi tiết

Phép đối xứng qua mặt phẳng (BDD′B′) biến lăng trụ ABD.A′B′D′ thành BCD.B′C′D′

⇒ Hai lăng trụ ABD.A′B′D′ và BCD.B′C′D′ bằng nhau.

Giải bài 1 trang 12 SGK Hình học 12 – tập 1:

Đề bài

Hãy chứng minh một đa diện có các mặt là những tam giác thì tổng số các mặt của nó là một số chẵn. Cho ví dụ.

Phương pháp giải:

+) Gọi số mặt của đa diện H là m, tìm số cạnh của đa diện H.

+) Số cạnh của đa diện là số nguyên, từ đó suy ra được số mặt của đa diện là số chẵn.

+) Lấy ví dụ: Tứ diện.

Lời giải chi tiết:

Ví dụ: Tứ diện có các mặt đều là hình tam giác và số mặt của tứ diện bằng 4 là một số chẵn.

Giải bài 2 trang 12 SGK Hình học 12 – tập 1:

Đề bài:

Hãy chứng minh một đa diện mà mỗi đỉnh của nó đều là đỉnh chung của số lẻ mặt thì tổng số các đỉnh của nó là một số chẵn. Hãy cho ví dụ.

Lời giải chi tiết:

Giả sử đa diện (H) có các đỉnh là A1,…Ad, gọi m1,…md  lần lượt là số các mặt của (H) nhận chúng là đỉnh chung, ở đó m1,…md là những số lẻ.

Như vậy mỗi đỉnh Ak sẽ có mk cạnh đi qua.

Ta có: đỉnh A1 sẽ có m1 cạnh đi qua.

đỉnh A2 sẽ có m2 cạnh đi qua.

…

đỉnh Ad sẽ có md cạnh đi qua.

Do đó số các cạnh (cũng có thể trùng nhau) của đa diện là m1+m2+…+md

Tuy nhiên, do mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt do đó số cạnh ở trên được đếm hai lần.

Vậy số cạnh thực tế của (H) được tính bằng:

Vì c là số nguyên, m1,…md là những số do đó d phải là số chẵn.

Ví dụ : Hình chóp ngũ giác.

Đỉnh S chính là đỉnh chung của 5 mặt và tất cả các đỉnh còn lại là đỉnh chung của 3 mặt, hình chóp ngũ giác có 6 đỉnh.

Giải bài 3 trang 12 SGK Hình học 12 – tập 1:

Đề bài

Chia một khối lập phương thành năm khối tứ diện.

Phương pháp giải:

Phân chia và lắp ghép các khối đa diện.

Lời giải chi tiết:

Trong hình phía trên, ta có thể chia thành năm khối tứ diện khác nhau là A’ABD; C’CBD; DA’D’C’; BB’A’C’ (4 góc của hình lập phương) và DBA’C’ (tứ diện tô màu).

Giải bài 4 trang 12 SGK Hình học 12 – tập 1:

Đề bài

Hãy chia một khối lập phương thành sáu khối tứ diện bằng nhau

Phương pháp giải:

Phân chia và lắp ghép tất cả các khối đa diện.

Lời giải chi tiết

Chia hình lăng trụ ABD.A′B′D′ thành ba tứ diện DABD′,A′ABD′,A′B′BD′.

Phép đối xứng qua (ABD′) biến DABD′ thành A′ABD′ ,

Phép đối xứng qua (BA′D′) biến A′ABD′ thành A′B′BD′ nên ba tứ diện DABA′,A′ABD′,A′B′BD′ bằng nhau.

Làm tương tự đối với hình lăng trụ BCD.B′C′D′ ta sẽ chia được một hình lập phương thành sáu tứ diện bằng nhau.