Nội dung bài học dưới đây sẽ giúp các bạn nắm được khái niệm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất, cách tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số , các phương pháp ứng dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số ,cùng với một số ví dụ minh họa sẽ giúp các bạn có kĩ năng giải dạng toán này.

Tham khảo thêm:

• Toán 12
• Cực trị hàm số
• Đường tiệm cận
• Tìm m để hàm số đạt giá trị lớn nhất
• Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số

A: Lý thuyết giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

1. Định nghĩa

Cho hàm số y=f(x) xác định trên tập D.

– Số M là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số f trên tập D khi và chỉ khi:

 

– Số m là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số f trên tập D khi và chỉ khi:

2. Cách tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn

Định lí:

Hàm số liên tục trên một đoạn thì có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.

Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a ; b]

– Tìm các điểm xi∈(a;b)( với i=1,2,…,n) mà tại đó f′(xi)=0 hoặc f′(xi) không xác định.

– Tính f(a),f(b),f(xi)( với i=1,2,…,n).

3. Chú ý khi tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số trên tập D

Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x) xác định trên tập hợp D, thì ta có thể khảo sát sự biến thiên của hàm số trên D, rồi căn cứ vào bảng biến thiên của hàm số mà kết luận về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.

B: Hướng dẫn trả lời câu hỏi và làm bài tập trong sách giáo khoa (sgk)

Hướng dẫn trả lời câu hỏi 1 trang 20 SGK Giải tích 12

a) Xét tính đồng biến, nghịch biến và tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: 

y=x² trên đoạn [−3;0]

Phương pháp giải:

Tính y′

• y′≤0 => Hàm số nghịch biến trên[a,b]. Đạt giá trị lớn nhất tại x = a và đạt giá trị nhỏ nhất tại x = b.
• y′≥0=> Hàm số đồng biến trên[a,b]. Đạt giá trị lớn nhất tại x = b và đạt giá trị nhỏ nhất tại x = a.

Lời giải chi tiết:

y′=2x≤0 trên đoạn [−3;0]

Vậy hàm số trên nghịch biến trên đoạn [−3,0].

Khi đó trên đoạn [−3,0] hàm số sẽ đạt giá trị lớn nhất tại x=−3 và giá trị lớn nhất bằng 9, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x=0 và giá trị nhỏ nhất là 0.

b)

 

Phương pháp giải:

Tính y′,

+ y′≤0 => Hàm số nghịch biến trên[a,b]. Đạt giá trị lớn nhất tại x = a và đạt giá trị nhỏ nhất tại x = b.

+ y′≥0 => Hàm số đồng biến trên[a,b]. Đạt giá trị lớn nhất tại x = b, đạt giá trị nhỏ nhất tại x = a.

Lời giải chi tiết:

Vậy hàm số trên nghịch biến trên đoạn [3;5]

Khi đó trên đoạn [−3,5] hàm số đạt giá trị lớn nhất tại điểm x=3 và giá trị lớn nhất bằng 2, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm x=5 và giá trị nhỏ nhất =1.5.

Hướng dẫn trả lời câu hỏi 2 trang 21 SGK Giải tích 12 – Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số trên đoạn

Đề bài

Cho hàm số:

Có đồ thị như Hình 10. Hãy chỉ ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-2; 3] và nêu rõ cách tính.

Phương pháp giải bài:

Quan sát đồ thị, đoạn [−2;3] tìm điểm có tung độ y lớn nhất (hay nhỏ nhất) từ đó kết luận giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết

Trên đoạn [−2;3] điểm thấp nhất của đồ thị hàm số có tọa độ là (−2;−2) và điểm cao nhất có tọa độ (3;3)

Vậy giá trị lớn nhất là 3 và giá trị nhỏ nhất là −2

Hướng dẫn trả lời câu hỏi 3 trang 23 SGK Giải tích 12 – Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

Đề bài

Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của f(x) trên tập xác định của hàm số.

Phương pháp giải bài – hướng dẫn cách tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

• Tìm tập xác định của hàm số f(x).
• Tính đạo hàm của hàm số đó. Tìm các điểm xi( với i=1,2,3,…,n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định
• Sắp xếp các điểm xi theo một thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên
• Dựa vào bảng biến thiên, khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số trên tập xác định của nó để suy ra giá trị nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết

  1. Tập xác định của hàm số: D=R.

 Cho y′=0 thì x=0.

 3. Lập bảng biến thiên

 Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho là –1 tại điểm x=0

Trả lời bài 1 trang 23 SGK Giải tích 12 – Tìm giá trị nhỏ nhất giá trị lớn nhất của hàm số trên các đoạn

a)

Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau:

y=x³−3x²−9x+35 trên các đoạn [−4;4] và [0;5]

Phương pháp giải bài:

Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x) trên đoạn [a; b] ta sẽ làm như sau :

+) Tìm các điểm x1; x2; x3;…; xn thuộc đoạn [a; b] mà tại đó hàm số có đạo hàm f′(x)=0 hoặc sẽ không có đạo hàm.

+) Tính f(x1);  f(x2);  f(x3);…;  f(xn) và f(a); f(b).

+) So sánh các giá trị tìm được ở phía trên. Giá trị lớn nhất trong các giá trị đó chính là giá trị lớn nhất của hàm số y=f(x) trên [a; b] và giá trị nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x)trên [a; b].

Lời giải chi tiết:

y=x³−3x²−9x+35

+) Xét D=[−4; 4] ta có :

 

 

Ta có : y(−4)=−41; y(−1)=40; y(3)=8; y(4)=15.

+) Xét D=[0; 5] ta có:

Ta có : y(0)=35;  y(3)=8; y(5)=40.

b)

y=x^4−3x²+2 trên các đoạn [0;3] và [2;5]

Lời giải chi tiết:

y=x^4−3x²+2

Có y(2)=6;  y(5)=552.

c)

Lời giải chi tiết:

d)

Lời giải chi tiết:

Trả lời bài 2 trang 24 SGK Giải tích 12

Đề bài

Trong số các hình chữ nhật cùng có chu vi 16cm, hãy tìm hình chữ nhật mà có diện tích lớn nhất.

Phương pháp làm bài:

Cho hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng lần lượt là x và y.

+) Chu vi hình chữ nhật tính bằng công thức: P=2(x+y).

 +) Diện tích hình chữ nhật được tính bằng công thức: S=xy.

Lập hàm số diện tích S(x) xét hàm suy ra giá trị lớn nhất.

Lời giải chi tiết

Gọi chiều rộng và chiều dài của hình chữ nhật lần lượt là x; y (cm), với (0<x;y<8).

Chu vi của hình chữ nhật là 16cm.

Khi đó: 2(x+y)=16⇔x+y=8⇔y=8−x.

⇒ Diện tích hình chữ nhật: S=xy=x(8−x)=8x−x^2

Xét hàm số: S(x)=8x−x² trên (0;8) ta có:

S′(x)=8−2x⇒S′(x)=0⇔x=4.

Ta có: S(0)=0;S(4)=16;S(8)=0.

⇒ y = 8−x = 4  (tm)

Vậy hình chữ nhật có diện tích lớn nhất là hình vuông có cạnh là 4cm.

Cách khác:

Ta có:

Trả lời bài 3 trang 24 SGK Giải tích 12

Đề bài:

Trong tất cả các hình chữ nhật cùng có diện tích là 48m² , hãy xác định các hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất.

Phương pháp làm bài:

+) Cho hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng lần lượt là x và y.

+) Chu vi của hình chữ nhật đó được tính theo công thức: P=2(x+y).

+) Diện tích của hình chữ nhật đó được tính theo công thức: S=xy.

Lập hàm số P(x) xét hàm suy ra giá trị nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết

Gọi chiều rộng và chiều dài của hình chữ nhật lần lượt là x; y (m),  điều kiện: (x; y>0).

Trả lời bài 4 trang 24 SGK Giải tích 12 – Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số trên đoạn

a) Tính giá trị lớn nhất của các hàm số sau:

Phương pháp làm bài:

Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x) trên đoạn [a; b] ta sẽ làm như sau :

+) Tìm các điểm x1;x2;x3;…;xn thuộc đoạn [a; b] mà tại đó hàm số có đạo hàm f′(x)=0 hoặc không có đạo hàm.

+) Tính f(x1);f(x2);f(x3);…;f(xn) và f(a); f(b).

+) So sánh các giá trị tìm được ở phía trên. Giá trị lớn nhất trong các giá trị đó chính là giá trị lớn nhất của hàm số y=f(x) trên [a; b] và giá trị nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x) trên [a; b].

Quy ước: Nếu đề bài yêu cầu tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x) nhưng không chỉ rõ tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên tập nào thì ta hiểu là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên tập xác định của hàm số y=f(x).

Lời giải chi tiết:

Tập xác định của hàm số: D=R.

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x=0; ymax=4

Cách khác:

Vậy max y=4 Dấu “=” xảy ra khi  và chỉ khi x=0

b)

y=4x³ – 3x^4

Lời giải chi tiết:

y=4x³ – 3x^4.

Tập xác định của hàm số: D=R.

Ta có bảng biến thiên:

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại điểm x=1; ymax=1

Trả lời bài 5 trang 24 SGK Giải tích 12 – Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

a)

Tính giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: y=|x|

Phương pháp làm bài – hướng dẫn cách tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

– Phá dấu giá trị tuyệt đối để đưa hàm số về dạng khoảng.

– Lập bảng biến thiên và đưa ra kết luận.

Lời giải chi tiết:

y=|x|.

Ta có bảng biến thiên:

 

Từ bảng biến thiên ta có hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x=0; miny=0.

b)

Phương pháp làm bài:

– Tìm tập xác định của hàm số y

– Tính đạo hàm  của y và tìm nghiệm.

– Lập bảng biến thiên rồi đưa ra kết luận.

Lời giải chi tiết:

Lập bảng biến thiên:

 

Cách khác:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

Trên đây là hướng dẫn chi tiết cách tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số, tính giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn, tính giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn do butbi.hocmai.vn tổng hợp.